Код вопроса: 9.2.55
Инвестор в течение пяти лет в конце каждого года получает по 1 000 руб. и размещает каждый платеж под 9% годовых до окончания пятилетнего периода. Определить будущую стоимость аннуитета.
Ответы:
А. 1538,62 руб.
[B]В. 5984,71 руб.[/B]
С. 4573,13 руб.
Обозначим:
A – сумма ежегодного платежа (1000 руб.)
r – ставка процента (9%)
n – количество лет в периоде (5 лет)
В конце первого года инвестор получит A руб. и разместит их по ставке r на n-1 лет.
В конце второго года инвестор получит A руб. и разместит их по ставке r на n-2 лет.
…
В конце n-ого года инвестор получит A руб. и разместит их по ставке r на 0 лет.
Итого (суммируем и получаем будущую стоимость аннуитета):
A * (1+r)^(n-1) + A * (1+r)^(n-2) +…+A =
= A + A * (1+r) + ... + A * (1+r)^(n-1) = A * [1 + (1+r) + (1+r) ^2 + ... (1+r)^(n-1)]
В скобках стоит выражение 1 + q + q^2 + ….+q^(n-1), где q = 1+r.
Это выражение геометрической прогрессии, которой можно выразить также, как:
1 + q + q^2 + ….+q^(n-1) = [1 – q^n]/[1-q] = [1 – (1+r)^n]/[1-(1+r)] = [(1+r)^n – 1]/r
Теперь подставляем это выражение в первую формулу:
A * [1 + (1+r) + (1+r) ^2 + ... (1+r)^(n-1)] = A * [(1+r)^n – 1]/r
A = 1000 руб.
r = 9%
n = 5 лет
A * [(1+r)^n – 1]/r = 5984.71 руб.
Инвестор в течение пяти лет в конце каждого года получает по 1 000 руб. и размещает каждый платеж под 9% годовых до окончания пятилетнего периода. Определить будущую стоимость аннуитета.
Ответы:
А. 1538,62 руб.
[B]В. 5984,71 руб.[/B]
С. 4573,13 руб.
Обозначим:
A – сумма ежегодного платежа (1000 руб.)
r – ставка процента (9%)
n – количество лет в периоде (5 лет)
В конце первого года инвестор получит A руб. и разместит их по ставке r на n-1 лет.
В конце второго года инвестор получит A руб. и разместит их по ставке r на n-2 лет.
…
В конце n-ого года инвестор получит A руб. и разместит их по ставке r на 0 лет.
Итого (суммируем и получаем будущую стоимость аннуитета):
A * (1+r)^(n-1) + A * (1+r)^(n-2) +…+A =
= A + A * (1+r) + ... + A * (1+r)^(n-1) = A * [1 + (1+r) + (1+r) ^2 + ... (1+r)^(n-1)]
В скобках стоит выражение 1 + q + q^2 + ….+q^(n-1), где q = 1+r.
Это выражение геометрической прогрессии, которой можно выразить также, как:
1 + q + q^2 + ….+q^(n-1) = [1 – q^n]/[1-q] = [1 – (1+r)^n]/[1-(1+r)] = [(1+r)^n – 1]/r
Теперь подставляем это выражение в первую формулу:
A * [1 + (1+r) + (1+r) ^2 + ... (1+r)^(n-1)] = A * [(1+r)^n – 1]/r
A = 1000 руб.
r = 9%
n = 5 лет
A * [(1+r)^n – 1]/r = 5984.71 руб.

