[QUOTE]Виктор пишет:
9.2.58
Лицо А в течении следующих 8ми лет в конце каждого года должно выплачивать по своим обязательствам по 20 тыс. руб. Чтобы располагать данными деньгами к концу каждого следующего года, оно решает сегодня открыть в банке 8ми летний депозит на некоторую сумму. По депозиту ежегодно начисляется 9%, средства со счета можно снимать полностью или частично в конце каждого года. Какую сумму следует сегодня разместить на депозите лицу А, чтобы за счет средств депозита покрыть все свои обязательства и, чтобы после последнего платежа на депозите больше не осталось денег.[/QUOTE]
Пусть
P – первоначальная сумма вклада
А – сумма ежегодных выплат (20 000 руб.)
r – процентная ставка (9% годовых)
n – срок, в течение которого будут погашаться обязательства (8 лет).
Таким образом:
В начале 1-ого года лицо А положило на счет сумму P.
В конце 1-ого года на его счете будет сумма P*(1+r). Вкладчик снимет сумму A, на счете в конце 1-ого года останется сумма P*(1+r)-A.
В конце 2-ого года на счете вкладчика будет сумма (P*(1+r)-A)*(1+r). Вкладчик снимет сумму A, на счете в конце 2-ого года останется сумма:
(P*(1+r)-A)*(1+r)-A = P*(1+r)^2-A*(1+r)-A = P*(1+r)^2 – A*((1+r) + 1).
По аналогии в конце 3-его года на счете вкладчика после снятия очередной суммы А
будет P*(1+r)^3-A*((1+r)^2+(1+r)-1)
и т. д.
В конце 8-ого года на счете вкладчика будет сумма P*(1+r)^8-A*((1+r)^7 + (1+r)^6 + …+ (1+r) + 1).
Так как по условию задачи в конце 8-ого года не должно остаться денег, то
P*(1+r)^8-A*((1+r)^7 + (1+r)^6 + …+(1+r)+1) = 0 <=>
P*(1+r)^8 = A*((1+r)^7+ (1+r)^6 + …+(1+r)+1) Делим обе части уравнения на (1+r)^8 и получаем:
P = A*(1/(1+r)+ 1/(1+r)^2 + …+1/(1+r)^8 ) = A / (1+r) *(1/(1+r)+ 1/(1+r)^2 + …+1/(1+r)^7 )
Как видим, задача сводится к нахождению приведенной стоимости аннуитета.
Обозначим 1/(1+r) за q. Тогда получится выражение:
Aq*(1+ q^2 + …+q^7 ) = Aq *(1 - q^8 ) / (1 - q) = A * (1/(1+r) ) * (1 - 1/(1+r)^8 ) / (1 - 1/(1+r) )=
= A/r * (1 - 1/(1+r)^8 )
То есть P = 20 000/9% * (1 - 1/(1+9%)^8 ) = 110 696,4 руб.
9.2.58
Лицо А в течении следующих 8ми лет в конце каждого года должно выплачивать по своим обязательствам по 20 тыс. руб. Чтобы располагать данными деньгами к концу каждого следующего года, оно решает сегодня открыть в банке 8ми летний депозит на некоторую сумму. По депозиту ежегодно начисляется 9%, средства со счета можно снимать полностью или частично в конце каждого года. Какую сумму следует сегодня разместить на депозите лицу А, чтобы за счет средств депозита покрыть все свои обязательства и, чтобы после последнего платежа на депозите больше не осталось денег.[/QUOTE]
Пусть
P – первоначальная сумма вклада
А – сумма ежегодных выплат (20 000 руб.)
r – процентная ставка (9% годовых)
n – срок, в течение которого будут погашаться обязательства (8 лет).
Таким образом:
В начале 1-ого года лицо А положило на счет сумму P.
В конце 1-ого года на его счете будет сумма P*(1+r). Вкладчик снимет сумму A, на счете в конце 1-ого года останется сумма P*(1+r)-A.
В конце 2-ого года на счете вкладчика будет сумма (P*(1+r)-A)*(1+r). Вкладчик снимет сумму A, на счете в конце 2-ого года останется сумма:
(P*(1+r)-A)*(1+r)-A = P*(1+r)^2-A*(1+r)-A = P*(1+r)^2 – A*((1+r) + 1).
По аналогии в конце 3-его года на счете вкладчика после снятия очередной суммы А
будет P*(1+r)^3-A*((1+r)^2+(1+r)-1)
и т. д.
В конце 8-ого года на счете вкладчика будет сумма P*(1+r)^8-A*((1+r)^7 + (1+r)^6 + …+ (1+r) + 1).
Так как по условию задачи в конце 8-ого года не должно остаться денег, то
P*(1+r)^8-A*((1+r)^7 + (1+r)^6 + …+(1+r)+1) = 0 <=>
P*(1+r)^8 = A*((1+r)^7+ (1+r)^6 + …+(1+r)+1) Делим обе части уравнения на (1+r)^8 и получаем:
P = A*(1/(1+r)+ 1/(1+r)^2 + …+1/(1+r)^8 ) = A / (1+r) *(1/(1+r)+ 1/(1+r)^2 + …+1/(1+r)^7 )
Как видим, задача сводится к нахождению приведенной стоимости аннуитета.
Обозначим 1/(1+r) за q. Тогда получится выражение:
Aq*(1+ q^2 + …+q^7 ) = Aq *(1 - q^8 ) / (1 - q) = A * (1/(1+r) ) * (1 - 1/(1+r)^8 ) / (1 - 1/(1+r) )=
= A/r * (1 - 1/(1+r)^8 )
То есть P = 20 000/9% * (1 - 1/(1+9%)^8 ) = 110 696,4 руб.