Сергей Пак (Все сообщения пользователя)

[QUOTE]Наталья пишет:
Добрый день! Помогите пожалуйста решить задачи № 11.2.19. Инвестор приобретает рискованный актив А на 800 тыс. р. за счет собственных средств, занимает 200 тыс. руб. под 12% годовых и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А равна 30% годовых, стандартное отклонение доходности 20%. Какую доходность инвестор может получить через год с вероятностью 68,3 %? Доходность актива распределена нормально.
[/QUOTE]
Код вопроса: 11.2.19
Инвестор приобретает рискованный актив [B][I]А[/I][/B] на 800 тыс. руб. за счет собственных средств, занимает 200 тыс. руб. под 12% годовых и также инвестирует их в актив [B][I]А[/I][/B]. Ожидаемая доходность актива [B][I]А[/I][/B] равна 30% годовых, стандартное отклонение доходности 20%. Какую доходность инвестор может получить через год с вероятностью 68,3%? Доходность актива распределена нормально.
Ответы:
[B][U]А. от 9,5% до 59,5%[/U][/B]
В. от 15,5% до 65,5%
С. от -15,5% до 84,5%
D. Данных для решения задачи не достаточно

Обозначим:
ri - среднее (ожидаемое) значение доходности вложений инвестора;
ra - среднее (ожидаемое) значение доходности актива А (30%);
si - стандартное отклонение доходности вложений инвестора;
sa - стандартное отклонение доходности акции А (равно 20%) ;
E – сумма собственных средств инвестора (800 тыс. руб.);
L – сумма заемных средств инвестора (200 тыс. руб.) ;
rl – процентная ставка по кредиту (12%).

[B]1. Расчет ожидаемого (среднего) значение и стандартного отклонения доходности вложений инвестора[/B]
При инвестировании денег в активы за счет собственных и заемных средств, инвестор формирует портфель, состоящий фактически из двух типов активов. [U]Первый тип[/U] представляет собой активы, непосредственно приобретаемые за счет собственных и заемных средств, [U]второй тип[/U] – это сами заемные средства. Удельные веса, или доли, указанных активов в портфеле рассчитываются относительно суммы собственных средств инвестора.

Посчитаем удельные веса актива А и заемных средств в портфеле инвестора в соответствии с выше описанной методикой.
Удельный вес актива А: da = Сумма средств, вложенных в актив А / Собственные средства =
= (E + L) / E = (800 тыс. руб. + 200 тыс. руб.)/800 тыс. руб. = 1000/800 = 1.25

Удельный вес заемных средств: dl = - Сумма заемных средств / Собственные средства =
= - L / E = - 200 тыс. руб./800 тыс. руб. = - 0.25
[I](Сумма долей равна единице: da + dl = 1.25 + (-0.25) = 100%)[/I]

Следовательно, ожидаемая доходность вложений инвестора равна:
ri = da * ra + dl * rl = 1.25 * 30% + (-0.25) * 12% = 37.5% - 3% = 34.5%

Стандартное отклонение доходности вложений инвестора рассчитывается как:
si = D^(1/2)
где D - дисперсия портфеля

Дисперсия портфеля инвестора рассчитывается по формуле:
D = (da*sa)^2 + (dl * sl)^2 + 2*da*dl*k(a,l), где
sl – стандартное отклонение доходности по заемным средствам;
k(url,l) – коэффициент корреляции между активом А и заемными средствами.

Так как по заемным средствам доходность в любом случае составит 12% годовых, являясь величиной постоянной, то стандартное отклонение и коэффициент корреляции с ним любого актива равны 0 (sl = 0; k(url,l) = 0).
Следовательно: D = (da*sa)^2 + (dl * 0)^2 + 2*da*dl*0 = (da*sa)^2 =>
=> si = D^(1/2) = da * sa = 1.25 * 20% = 25%.

[B]2. Оценка интервала доходностей вложений инвестора с вероятностью 68.3%. [/B]
По условию задачи распределение доходности актива А - нормальное. Так как доходность по заемным средствам является величиной постоянной (12% годовых), то распределение доходностей вложений (портфеля) инвестора соответствует распределению доходности актива А, то есть является также нормальным. Поэтому механизм расчета доходности портфеля инвестора с вероятности 68.3% сводится к следующему.

Сначала находим квантиль нормального распределения, соответствующий вероятности 68.3%.
Это можно увидеть из таблицы квантилей нормального распределения, например, здесь:
[I][url]http://www.mathelp.spb.ru/book2/tv11.htm[/url][/I]

Как видим, вероятности 68.3% больше всего соответствует значение 1.0. Это означает, что с вероятностью 68.3% доходность вложений инвестора попадет в диапазон:
[ri – 1*si; ri + 1*si].

Иными словами, доходность вложений инвестора через год с вероятностью 68.3% попадет в диапазон: [ri - si; ri + si].

[B]3. Расчет диапазона доходностей портфеля инвестора [/B]

Доходность вложений инвестора через год с вероятностью 68.3% попадет в диапазон:
[ri - si; ri + si].

ri = 34.5%
si = 25%

ri – si = 34.5% - 25% = 9.5%
ri + si = 34.5% + 25% = 59.5%

[B]Таким образом, доходность инвестора через год с вероятностью 68.3% попадет в интервал от 9.5% до 59.5%.[/B]