Финансовая математика и статистика (решение задач)

Цитата
Nati-Y пишет: А могли бы Вы объяснить задачи: 4.61-4.63

Код вопроса: 4.2.61
Банк А выплачивает сложные проценты раз в полгода. Банк Б выплачивает 12% годовых по простой процентной ставке. Вкладчик разместил по 10 000 руб. в банках А и Б сроком на 2 года. Какую полугодовую процентную ставку должен начислять банк А, чтобы у вкладчика по итогам 2-х лет суммы в банках были одинаковы?
Ответы:
A. 4,5%
B. 5,53%
C. 5,82%
D. 6%

Пусть
P - первоначальная сумма вклада;
F - сумма вклада в конце срока.


Чем отличается начисление сложных процентов от простых?
Пусть r - процентная ставка, выраженная в процентах годовых.

В случае сложных процентов и начислении m раз в год, вся накопленная сумма капитализируется m раз в год. Если например, m = 2 (то есть начисление происходит 2 раза в год), то сумма через год будет равна:

F = P (1+r/m)^m = P (1+r/2)^2

Если происходит начисление простых процентов, то сумма через год будет равна:

F = P (1+r)

Теперь возвращаемся к задаче.

P(A) = P(Б) = P = 10 000 руб.
m = 2 раза в год
r(Б) = 12% годовых (простая процентная ставка)
n = 2

Через 2 года в банке А будет сумма:
F(A) = P(1+r(A)/m)^(n*m)

Через 2 года в банке Б будет сумма:
F(B) = P(1+r(Б)*n)

По условию задачи известно, что F(A) = F(B) или

P(1+r(A)/m)^(n*m) = P(1+r(Б)*n) <=>

<=> (1+r(A)/m)^(2*2) = (1+0.12*2)=>

1+r(A)/m = 1.24^(1/4) = >r(A)/m = 5.53%

r(A)/m - это полугодовая процентная ставка банка А. как видно, она равна 5.53%

Цитата
Nati-Y пишет: А могли бы Вы объяснить задачи: 4.68 4.116 4.117

Код вопроса: 4.2.68
Банк А производит ежемесячное начисление дохода по вкладу с годовой процентной ставкой 17% с учетом ежемесячного реинвестирования дохода. Банк Б производит ежеквартальное начисление дохода. Какой должна быть ежеквартальная процентная ставка, чтобы банк Б обеспечивал равную по сравнению с банком А доходность по вкладу с учетом ежеквартального реинвестирования дохода?
Ответы:
A. 3,6%
B. 4%
C. 4,2%
D. 4,25%

Нам нужно найти процентную ставку за квартал, чтобы при ежеквартальной капитализации банк Б приносил доходность 17% годовых.

Пусть r(Б) - ежеквартальная процентная ставка банка Б.
Тогда (1+r(Б) )^4 = 1+17% = > r(Б) = 4%

Код вопроса: 4.2.116
Эксперимент состоит в том, что мы бросаем игральную кость. Определить вероятность того, что выпало больше 4 очков при условии, что выпавшее число является четным?
Ответы:
A. 1/6
B. 1/3
C. 1/2
D. 2/3

Пусть p (событие) - это вероятность некоторого события

Число исходов, когда при бросании кости выпадет четное число равно трем (на кости выпадут числа 2, 4, 6).

Число исходов, когда при бросании кости выпадет четное число больше 4-х равно одному (на кости выпадет число 6).

Следовательно,

p(выпало больше 4 очков при условии, что выпавшее число является четным) = 1/3

Код вопроса: 4.2.117
Эксперимент состоит в том, что мы бросаем игральную кость. Определить вероятность того, что выпало больше 2 очков при условии, что число выпавших очков четное?
Ответы:
A. 1/6
B. 1/3
C. 2/3
D. 3/4


Число исходов, когда при бросании кости выпадет четное число равно трем (на кости выпадут числа 2, 4, 6).

Число исходов, когда при бросании кости выпадет четное число больше 2-х равно одному (на кости выпадут числа 4, 6).

Следовательно,

p(выпало больше 4 очков при условии, что выпавшее число является четным) = 2/3

Цитата
Nati-Y пишет: Добрый день! А могли бы Вы объяснить задачи: 4.134-4.136

Код вопроса: 4.2.134
Доходности акций А и В могут принимать только два значения, как показано в таблице:

Доходность А Доходность В
1-й сценарий 5% 10%
2-й сценарий 8% 16%

Определить коэффициент корреляции доходностей акций.
Ответы:
A. Для ответа недостаточно данных
B. Плюс один
C. Минус один
D. 0

Решение.

Пусть K (А, B) – коэффициент корреляции между активами доходностью активов А и B.
Тогда: K (А, B) = COV (A, B) / (D(A)^(1/2) * (D(B) ^(1/2), где
COV (A, B) – ковариация доходностей активов A и B
D(A) , D(B) – дисперсии доходностей активов A и B

COV (A, B) = E(A*B) – E(A)*E(B), где
E(A*B) –математическое ожидание произведения доходностей по активам A и B;
E(A), E(B) – математическое ожидание доходностей активов А и B соответственно

D(A) = E(A-E(A))^2, или математическое ожидание случайной величины, равной (A-E(A))^2

Теперь непосредственно расчеты.

Мат. ожидание доходности актива А (E(A)) = (5%+8%)/2 = 6.5%
Мат. ожидание доходности актива B (E(B)) = (10%+16%)/2 = 13%

Дисперсия актива А (D(A)) = [(5%-6.5%)^2+(8%-6.5%)^2]/2 = 2.25 * 0.0001
Дисперсия актива B (D(B)) = [(10%-13%)^2+(16%-13%)^2]/2 = 9 * 0.0001
D(A)^(1/2) =0.000225^0.5 = 0.015
D(B)^(1/2) = 0.0009^0.5 = 0.03

E(A*B) = (5%*10%+8%*16%)/2 = 0.0089
E(A)*E(B) = 6.5% * 13% = 0.00845

COV(A,B) = 0.0089 - 0.00845 = 0.00045

K(A,B) = 0.00045/(0.015*0.03) = 1

P.S. На всякий случай выкладываю расчетный файл.

Код вопроса: 4.2.98
Пусть Х - случайная величина, М - математическое ожидание, D - дисперсия случайной величины, М(Х)=2, D(Х)=0. Найти М(X^3- 1).
Ответы:
A. 1
B. 3
C. 7
D. Указанных данных недостаточно для решения задачи

Код вопроса: 4.2.99
Пусть Х - случайная величина, М - математическое ожидание, D - дисперсия случайной величины, М(Х)=2, D(Х)=2. Найти М(Х^3 - 1).
Ответы:
A. 1
B. 3
C. 7
D. Указанных данных недостаточно для решения задачи

Цитата
Nati-Y пишет: почему задачу 4.99 нельзя решить как 4.98 и получить ответ 7?

В задаче 4.2.99 нельзя получить ответ 7, так как там дисперсия не равна 0.

Код вопроса: 4.2.122
Доходность акции А распределена нормально. Среднее значение доходности равно 30% годовых, стандартное отклонение доходности в расчете на год равно 15%. Определить, с какой вероятностью через год доходность акции составит 40%.
Ответы:
A. 68,3%
B. 95,4%
C. 99,7%
D. 0%

Код вопроса: 4.2.120
Доходность акции А распределена нормально. Среднее значение доходности равно 30% годовых, стандартное отклонение доходности в расчете на год равно 15%. Определить, с какой вероятностью через год доходность акции может оказаться в диапазоне от нуля до 60%.
Ответы:
A. 68,3%
B. 95,4%
C. 99,7%
D. 0%

Цитата
Nati-Y пишет: И почему в 4.122 ответ D, а не А, ведь она решается аналогично задаче 4.120?

Потому что в вопросе 4.120 стоит формулировка "в диапазоне от нуля до 60%", а в вопроса 4.122 - "составит 40%".
То есть в задаче 4.122 нужно найти вероятность конкретного значения. При нормальном распределении вероятность любого конкретного значения равна 0.

Вроде так.